Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME

• Autores:
• Luis M. de la Cruz Salas
• Rev: mar 12 ene 2021 12:31:49 CST

Algunas veces es necesario aproximar funciones complicadas usando una combinación de otras funciones más simples. Estas funciones más simples deberían permitir un tratamiento sencillo, como encontrar sus derivadas o sus integrales.

Uno de los conjuntos de funciones más simples de tratar son los polinomios. Por ejemplo, un polinomio de grado 3 se escribe como

donde C₀, C₁, C₂, C₃ son coeficientes constantes. Observa que calcular la derivada y la integral de esta función es sencillo.

La pregunta es ¿qué tan bien se pueden aproximar las funciones complicadas con una combinación de funciones simples? Por ejemplo, usando con polinomios.

Las series de Taylor se basan en la combinación lineal de una serie de polinomios y las escribimos como sigue:

Lo anterior nos da una aproximación de la función 𝑓(𝑥) en 𝘹 = a usando el polinomio de grado 𝛲_n(𝘹).

Nota: Cuando a = 0 la serie de Taylor también se conoce como serie de Maclaurin.

OJO: Para que todo la anterior sea válido, se deben cumplir ciertas condiciones sobre la la función que se está aproximando, particularmente que todas las derivadas de 𝑓(𝑥) hasta la n-ésima existan y sean continuas.

La siguiente herramienta te permite evaluar de manera interactiva diferentes series de Taylor para algunas funciones.

Intrucciones:

• Observar la función a evaluar.
• Deslizar el punto donde se desea aproximar.
• Variar el grado del polinomio de la aproximación y observe el resultado.

Observe que en algunos casos, cuando la aproximación se realiza en 𝘹 = 0, el avance de un polinomio par a su inmediato superior impar, no agrega mejoría en la aproximación. Para entender este comportamiento y otros de las Series de Taylor, revise el siguiente notebook.