Espacios Vectoriales

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019

  • Autor:
  • Jaime Jesús Ortega Ibarra
  • Rev: miercoles enero 13 20:30:48 CDT 2021

Introducción

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

  • Un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto $V$ no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

$$Suma : V \times V \rightarrow V $$ $$(\vec u, \vec v) \rightarrow \vec w= \vec u+ \vec v$$

Operación interna tal que contenga las siguientes propiedades:

  • Propiedad Conmutativa
  • Propiedad Asociativa
  • Exista el elemento neutro
  • Exista el elemento opuesto y tenga la operación producto por un escalar

Operación externa tal que

  • Tenga la propiedad Asociativa
  • Exista el elemento neutro
  • Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial
  • Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar

Espacios y Subespacios

De acuerdo con las propiedades vistas inicialmente, se puede afirmar que $\mathbb R^3$ es un espacio vectorial, por lo que podemos definir un subespacio vectorial de la siguiente manera: Sea $V$ un espacio vectorial y $W$ un subconjunto no vacío de $V$. $W$ es un subespacio de $V$ si $W$ es en sí mismo es un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en $V$, es decir:

$$\vec{0} \in W$$ii)$$\forall \vec{u},\vec{v} \in W, \vec{u}+\vec{v} \in W$$iii)$$\forall \vec{u} \in W, \forall k \in K, k\vec{u} \in W $$

Combinaciones lineales

Cuando trabajamos con vectores, nos podemos encontrar con dos operaciones fundamentales, la suma y la multiplicación por escalares. Cuando sumamos dos vectores $\vec v$ y $\vec w$, sumamos elemento por elemento, del siguiente modo:

$$\vec{v}+\vec{w} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ . \\ .\\ . \\ v_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ . \\ . \\ . \\ w_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ . \\ . \\ . \\ v_n + w_n \end{bmatrix}$$

Transformaciones Lineales

Una transformación lineal es una función que tiene como dominio y codominio un espacio vectorial los cuales conservan las propiedades de linealidad. Tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$, y una función que va de $V$ a $W$. Es decir, una regla de asignación que transforma vectores de $V$ en vectores de $W$. Pero no toda función que transforme vectores de $V$ en vectores de $W$ es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

$$F: V \rightarrow W$$ es una transformación lineal si y sólo si:

  1. Abre sumas

    2. $$F(\vec{u}+\vec{v})=F(\vec{u})+F(\vec{v})$$ $$\forall u,v \in V$$

  2. Saca escalares

    3. $$F(k \cdot \vec{v})= k \cdot F(\vec{v})$$ $$\forall \vec{v} \in V, \forall k \in \mathbb R$$

En el siguiente ejemplo podemos observar una transformación lineal

Referencias

Para mayor aprendizaje, se recomienda al lector visitar las diversas fuentes de donde se obtuvo la información anterior: