Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019
- Autor:
- Miguel Angel Pérez León
- Rev: mar ene 12 21:36:29 CDT 2021
El concepto de distancia es de gran importancia para el estudio de los espacios vectoriales, tales como el espacio de los vectores o las matrices. Es por este motivo que definir una forma de poder medir estas distancias en cualquier espacio vectorial es de suma importancia. A este concepto se le conoce como norma.
Norma: Sea V un espacio vectorial sobre k. Una función ‖ de vectores, se denomina norma vectorial a \left\Vert \cdot\right\Vert si, para cuales quiera vectores \vec{x},\vec{y}, se satisfacen las siguientes propiedades. 1.-\left\Vert \vec{x}\right\Vert \geq0 2.-\left\Vert \vec{x}\right\Vert =0,\Longleftrightarrow\vec{x}=\vec{0} 3.-\left\Vert \alpha\vec{x}\right\Vert =\left|\alpha\right|\left\Vert \vec{x}\right\Vert 4.-\left\Vert \vec{x}+\vec{y}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{x}\right\Vert +\left\Vert \vec{y}\right\Vert
Normas de Hölder
Sea p\geq1. Las normas de Hölder, o p-normas están definidas por
\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{p}:=\left[\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right]^{1/p}\quad para\,1\leq p<\infty
De ellas, las mas importantes son:
La 1-norma \left\Vert \vec{x}\right\Vert _{1}:=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|
La 2-norma (norma euclidiana) \left\Vert \vec{x}\right\Vert _{2}:=\left[\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{2}\right]^{1/2}
y la \infty-norma (norma del supremo) \left\Vert \vec{x}\right\Vert _{\infty}:= max_{1\leq i\leq n}\left|x_{i}\right|
Sean \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{n} la distancia entre \vec{x}, \vec{y} se define de la siguiente manera. d\left(\vec{x},\vec{y}\right):=\left\Vert \vec{x}-\vec{y}\right\Vert
La importancia de una norma es que una vez definida la norma en \mathbb{R}^{n} es sencillo establecer una métrica (distancia entre vectores).
Existen algunas propiedades de las normas asi como ejemplos interactivos y una explicación mas a fondo que se pueden ver en el notebook de *Normas*