Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019

• Autor:
• Miguel Angel Pérez León
• Rev: mar ene 12 21:36:29 CDT 2021

El concepto de distancia es de gran importancia para el estudio de los espacios vectoriales, tales como el espacio de los vectores o las matrices. Es por este motivo que definir una forma de poder medir estas distancias en cualquier espacio vectorial es de suma importancia. A este concepto se le conoce como norma.

Norma: Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$. Una función $\left\Vert\cdot\right\Vert $ de vectores, se denomina norma vectorial a $\left\Vert \cdot\right\Vert $ si, para cuales quiera vectores $\vec{x},\vec{y},$ se satisfacen las siguientes propiedades. 1.-$\left\Vert \vec{x}\right\Vert \geq0$ 2.-$\left\Vert \vec{x}\right\Vert =0,\Longleftrightarrow\vec{x}=\vec{0}$ 3.-$\left\Vert \alpha\vec{x}\right\Vert =\left|\alpha\right|\left\Vert \vec{x}\right\Vert$ 4.-$\left\Vert \vec{x}+\vec{y}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{x}\right\Vert +\left\Vert \vec{y}\right\Vert$

Normas de Hölder

Sea $p\geq1.$ Las normas de Hölder, o p-normas están definidas por

$$\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{p}:=\left[\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right]^{1/p}\quad para\,1\leq p<\infty$$

De ellas, las mas importantes son:

La $1-norma$ $$\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{1}:=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$$

La $2-norma$ (norma euclidiana) $$\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{2}:=\left[\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{2}\right]^{1/2}$$

y la $\infty-norma$ (norma del supremo) $$\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{\infty}:= max_{1\leq i\leq n}\left|x_{i}\right|$$

Sean $\vec{x}$, $\vec{y}$ $\in \mathbb{R}^{n}$ la distancia entre $\vec{x}$, $\vec{y}$ se define de la siguiente manera. $$d\left(\vec{x},\vec{y}\right):=\left\Vert \vec{x}-\vec{y}\right\Vert$$

La importancia de una norma es que una vez definida la norma en $\mathbb{R}^{n}$ es sencillo establecer una métrica (distancia entre vectores).

Existen algunas propiedades de las normas asi como ejemplos interactivos y una explicación mas a fondo que se pueden ver en el notebook de *Normas*