Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019

• Autor:
• Miguel Angel Pérez León
• Rev: lun ene 11 14:12:15 CDT 2021

Los sistemas lineales tienen un sin fin de aplicaciones ya que pueden ser implementaos en diferentes disciplinas como medicina, inteligencia artificial e incluso economía.

Un sistema de N ecuaciones lineales con N incógnitas $x_{i}$ se puede presentar en la forma: $$\begin{cases} f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) & =0\\ f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) & =0\\ & \,\vdots\\ f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) & =0 \end{cases}$$

Usando notación vectorial, podemos reescribir el sistema en una forma más elegante: $$F(\vec{X})=\vec{0}$$

Definiendo vectores columna como $$ \vec{0} = \left[x_{1,}x_{2},\ldots,x_{N}\right]^{T}$$

Y considerando que cada una de las $f_{i}$ son ecuaciones lineales.

En reresentación matricial se representa de la siguiente forma $$A\vec{x}=\vec{b}$$

Con $A\in M_{n\times n}$ y $\vec{x}, \vec{b} \in \mathbb{R}^{n}$, es decir.

$$\left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ \vdots\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ \vdots\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right)$$

Al intentar resolver un sistema lineal de ecuaciones, nos podemos topar con las siguientes opciones:

• Sistema incompatible (carece de solución).
• Sistema compatible y determinado (solución única).
• Sistema compatible e indeterminado (infinitas soluciones).

Supongamos que tenemos un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incognitas, es decir que tenemos las ecuaciones de dos rectas:

$$ \begin{matrix} a_{00} x_0 + a_{01} x_1 = b_0 \\ a_{10} x_0 + a_{11} x_1 = b_1 \end{matrix} $$

La solución (en caso de existir) representa el punto en el cual estas dos rectas se intersectan. Por el contrario, en caso de que no exista solución eso significa que ambas rectas son paralelas, por lo que no existe intersección. Finalmente en caso de que ambas rectas no sean linealmente independientes, podemos decir que existe una infinidad de soluciones al sistema.

La solución de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas representa el punto en $\mathbb{R}^{2}$ donde ambas rectas se intersectan. Por otro lado, la solución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas representa el punto en $\mathbb{R}^{3}$ donde se genera de la intersección de los 3 planos. De manera general podemos decir que la solución de un sistema de $n$-ecuaciones lineales con $n$-incógnitas representa el vector $\vec{x} \in \mathbb{R}^{n}$ donde se da la intersección de los subespacios generados por los vectores columna de la matriz $A\in M_{n\times n}$.

En caso de que el sistema $A\vec{x}=\vec{b}$ tenga solución es decir que el determinante de la matriz $A$ sea diferente de cero, un camino para resolver este sistema es mediante la inversa de $A$, es decir que en caso de que exista $A^{-1}$ entonces se tiene que.

$$A\vec{x}=\vec{b} \Longrightarrow (A^{-1}A)\vec{x}=(A^{-1}\vec{b}) \Longrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}$$

Si se quiere tener mayor información sobre este tema, así como ejemplos interactivos y videos se puede visitar el notebook de *Sistemas Lineales*