Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019

• Autores:
• José de Jesús Tapia López
• Luis M. de la Cruz Salas
• Rev: mar nov 11 13:33:12 CDT 2020

Introducción

En muchas situaciones cotidianas aparecen secuencias o listas de diversos objetos o personas. En particular, seguramente habrás presentado exámenes o pruebas psicométricas y encontrado listas de números como estas:

2, 5, 8, 11, 14, ...

1, 4, 9, 16, 25

Para cada una de las listas anteriores puedes determinar el número que aparece en cualquier lugar de la secuencia (por ejemplo, el número que ocupa la posición 12,020. Para estas sucesiones numéricas, se acostumbra a resumir esta información de la siguiente manera: el lugar del número se representa mediante una letra, por lo general la letra n, de modo que:

• Dada la lista 2, 5, 8, 11, 14, ... en el lugar n debe aparecer el elemento 3n-1.
• La lista 1, 4, 9, 16, 25, ... puede escribirse como 1², 2², 3², 4², 5², ..., por lo que en el lugar n debe aparecer el número n².

La manera de determinar el número que debe aparecer en cada lugar de la lista se llama también la regla de correspondencia de la lista.

Una sucesión de elementos en un conjunto A es una función que a cada número natural le asocia un elemento de A.

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo contradominio es el conjunto de los números reales. Así, una sucesión de este tipo es una función que a cada número natural le hace corresponder uno y sólo un número real.

Se acostumbra a describir la sucesión mediante los elementos de su imagen ordenados, llamando a estos los términos de la sucesión, escritos mediante letras con subı́ndices a₁, a₂, a₃, ..., a_n, .... Esto significa que al número 1 le corresponde a₁, que es la imagen del natural 1 bajo la función y el primer elemento de la sucesión; al 2 le corresponde el segundo elemento a₂; al 3 le corresponde el tercer elemento a₃, y ası́ sucesivamente; por lo cual se tiene que al número natural n le corresponde el n-ésimo elemento a_n. De esta manera escribimos la sucesión como la lista ordenada de números reales a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...

Notemos que una sucesión tiene una infinidad de términos: Como una sucesión es una función que tiene como dominio un conjunto infinito (los naturales), también tiene un número infinito de imágenes. Generalmente escribiremos de manera abreviada {a_n}^∞_n=1, en lugar de la lista a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., o bien solamente a_n entendiendo que n ε ℕ y que a_n es el término general de la sucesión.

Convergencia de una sucesión

Decimos que la sucesión {a_n} converge a un número real a si y sólo si para toda ε>0 existe un número natural N tal que si n>N entonces |a_n - a|<ε. Si la sucesión {a_n} converge a a, decimos que el límite de la sucesión {a_n} es a y escribimos lim_n→∞a_n=a

Esta definición nos dice que dado cualquier número positivo ε, podemos encontrar un número natural N, que depende de ε, tal que si nos fijamos en los índices mayores que N (es decir, N + 1, N + 2, ..., N + k, ...), entonces los términos de la sucesión a_N+1, a_N+2, ..., a_N+k, ... distan de a menos que ε.

Además, sabemos que:

entonces la definición de convergencia implica que todos los elementos de la sucesión cuyos índices sean mayores que N están en el intervalo abierto (a - ε, a + ε) y solamente un número finito se encuentra fuera de él.

A continuación mostramos la figura de la gráfica de la sucesión con una vecindad de radio ε = 0.2:

Para revisar más conceptos de Sucesiones, checa el siguiente notebook.