Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019
- Autor:
- Ocampo Nava Maria Fernanda
- Rev: mar 12 ene 2021 20:00:03 CST
La función determinante de una matriz permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones, existen reglas que ayudan a obtenerlo dependeiendo la dimensión de la matriz, es importante saber que esto solo funciona con matrices cuadradas.
Sea $A \in M_{n\times n}$ sobre $\mathbb{R}$ el determinante de $A$ se define como sigue.
$$det(A)=\begin{cases} a_{0,0}*a_{1,1}-a_{0,1}*a_{1,0} & n=2\\ \sum_{i=0}^{n-1}\left(-1\right)^{i}*a_{0,i}*det\left(subMatriz_{0,i}\left(A\right)\right) & n\geq2 \end{cases}$$
Donde la función $subMatriz_{0,i}\left(A\right)$ elimina el renglón cero y la columna $i$ de la matriz $A$.
Existen algunas propiedades que los determinantes cumplen, asi como también se han implementado diversos métodos para obtenerlo.
Cálculo de determinantes por el método de desarrollo por menores
Para el cálculo de determinantes por este método se toma como referencia una fila o una columna y se va eliminando sus elementos (de acuerdo a su posición) y formando los determinantes de un orden inferior a la matriz original; el cual queda multiplicado por este elemento y su signo de posición. Es decir cada elemento de la fila o la columna seleccionada se multiplica por su determinante menor y el signo de posición.
Los signos de posición se obtienen siempre comenzando con positivo y alternando luego.
Entonces como primer paso tomamos el primer elemento y lo multiplicamos por el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la primera fila y la primer columna, es decir:
- Primer elemento del determinante:
- Segundo elemento del determinante: para este se toma el segundo elemento de la matriz y se multiplica por el determinante de la matriz que resta al quitar el primer renglón y la segunda columna.
- Tercer elemento del determinante: para este se toma el tercer elemento de la matriz y se multiplica por el determinante de la matriz que resta al quitar el primer renglón y la tercer columna.
$$\begin{equation} a_{11}*\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= + a_{11}*[(a_{22}*a_{33})-(a_{23}*a_{32})]=a \end{equation}$$
$$\begin{equation} -a_{12}*\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}= - a_{12}*[(a_{21}*a_{33})-(a_{23}*a_{31})]=b \end{equation}$$
$$\begin{equation} +a_{13}*\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}= a_{13}*[(a_{21}*a_{32})-(a_{22}*a_{31})]=c \end{equation}$$
Asi se lleva a cabo el procedimieto dependiendo la dimensión de la matriz disminuyendo hasta un orden cuyo determinante sea mas fácil calcular.
Por último se obtiene que:
$$\begin{equation} det(A) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix} = \pm a \pm b \pm c \end{equation}$$
Para obtener ejemplos interactivos y mayor información de este tema se puede consultar nuestro notebook de *Determinantes.*