Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019
- Autor:
- Jaime Jesús Ortega Ibarra
- Rev: miercoles enero 13 20:48:56 CDT 2021
Introducción
Los Eigenvalores y Eigenvectores son conceptos sumamente empleados en diferentes áreas de las matemáticas aplicadas e ingenierías. La raíz $eigen$ proviene del alemán y significa $propio$, por lo cual podemos definir como Valores propios o valores característicos de una transformación lineal o de una matriz, mientras los eigenvectores pueden ser definidos como vectores propios o vectores característicos de una transformación lineal o de una matriz.
Definición
Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$ y sea $T$ una transformación lineal
$$T:V \rightarrow V$$
un vector $\vec{v_{0}}$ $\ne$ 0 del espacio vectorial $V$ se denomina un eigenvector de T si existe un escalar $\lambda$ $\in$ $K$ tal que
$$T(\vec v_{0})= \lambda \vec v_{0},$$
en este caso $\lambda \in K$ se denomina el eigenvalor de la transformación $T$ asociado al eigenvector $\vec v_{0}$
De manera semejante podemos definir los eigenvectores y eigenvalores de una matriz M.
Sea $M \in K_{nxn}$ para algún número natural n, un elemento $\vec{x} \in K_{n}$ se denomina un eigenvector de $M$ si existe un escalar $\lambda \in K$ tal que
$$M \vec{x} = \lambda \vec{x}$$ en este caso $\lambda \in K$ se denomna eigenvalor de la matriz $M$ asociado al eigenvector $\vec{x}$.
Ejemplo:
Dada una matriz: $$A = \begin{bmatrix} -1, 3 \\ 2, 4 \end{bmatrix} $$ Obtener sus Eigenvalores.
Se debe obtener la determinante de la matriz, restandole a la diagonal el parámetro $\lambda$, es decir:$$ detA = \begin{bmatrix} -1 - \lambda, 3 \\ 2, 4 - \lambda \end{bmatrix} = (-1 - \lambda) (4 - \lambda) - 6 = 0 $$Desarrollando el producto de binomios$$ 4 + \lambda - 4 \lambda + \lambda ^2 -6 $$ $$ = \lambda ^2 - 3 \lambda -10 = 0 $$Lo cual factorizando, nos da lo siguiente$$ = (\lambda +2) (\lambda -5) $$$\therefore$ Nuestros eigenvalores son:$$ \lambda_{1} = -2 $$$$ \lambda_{2} = 5 $$ Para mayor información, se recomienda al lector consultar los siguientes sitios: