Trabajo realizadoograma UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019
- Autores:
- Luis M. de la Cruz Salas
- Rev: mar 12 ene 2021 12:31:49 CST
La razón de cambio instantáneo tiene que ver con un concepto muy importante en Cálculo: la derivada. En todos los libros de cálculo encontrarás la siguiente definición y notación para la derivada de una función 𝑓(𝑥):
La derivada existe siempre y cuando exista el límite.
Supongamos que deseamos evaluar la derivada en el punto 𝑥0. ¿Qué pasa cuando ℎ es pequeña pero diferente de cero? En ese caso, tenemos una aproximación a la derivada que escribimos de la siguiente manera:
Para que esta aproximación se parezca a la derivada exacta, tenemos que usar una ℎ tan pequeña como sea posible. Podemos medir el error de esta aproximación mediante:
Este error va a tender a cero conforme la ℎ se hace más pequeña. Para comprobar esto, veamos el siguiente interactivo:
Instrucciones:
- Elige una función de la lista.
- Desliza el punto 𝑥0 dentro de la función donde quieres calcular la derivada.
- Disminuye el valor de ℎ hasta un valor muy pequeño y observa lo que sucede.
| f(x) | sin(x) | cos(x) | x2•cos(x) |
|---|---|---|---|
Gráfica realizada con JSXGraph v1.2.1
Si ervaste con atención, te habrás dado cuenta que conforme ℎ se hace pequeña, el valor de 𝐹′(𝑥0) se aproxima cada vez mejor al valor exacto de la derivada 𝑓′(𝑥0). Una consecuencia es que la línea verde es cada vez más parecida a la línea tangente a la curva en el punto 𝑥0 (la línea roja).
Puedes notar que la derivada es la razón de cambio instantáneo en donde tenemos dos conceptos importantes:
- por un lado un cambio requiere de la comparación entre dos o más estados;
- mientras que la palabra instantáneo tiene que ver con algo que dura un instante, es decir un tiempo puntal.
En el interactivo podemos notar que tenemos dos estados 𝑓(𝑥0) y 𝑓(𝑥0+ℎ), lo cual indica un cambio; pero conforme ℎ→0 vemos que esos dos estados se acercan mucho tendiendo en el límite justamente a la razón de cambio instantáneo, o sea a la derivada, la cual también representa la línea tangente al punto 𝑓(𝑥0).
Para revisar más conceptos de derivadas, checa el siguiente notebook.