Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE101019

• Autores:
• Ingrid Pamela Ruiz Puga
• Luis M. de la Cruz Salas
• Rev: mar ene 12 15:06:45 CDT 2020

Introducción

Emprendiendo con Chilaquiles 3.0

Un profesor, que se convirtió en cliente de los estudiantes emprendedores con chilaquiles, se interesó en ver cómo avanzó el negocio. Los estudiantes compartieron con el profesor el modelo con el que describieron sus ventas, el cual se escribe como sigue:

Al mirar este modelo, el profesor se dió cuenta de la inconsistencia para 𝘹 = 12, así que decidió resaltar esto en la siguiente visualización:

Observamos que cuando movemos el límite izquierdo (Límite -) desde 0 hasta 12, el valor del modelo tiende a 60, mientras que si movemos el límite derecho (Límite +) desde 20 hasta 12, el valor del modelo tiende a 131. Cuando 𝘹 = 2 se tienen dos valores!. Existe una discontinuidad. El modelo no cumple con la definición de función.

Noción y definición de límite

El matemático francés Augustine Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite (aunque ya era usado este concepto desde los antigüos griegos para el cálculo de áreas) de la siguiente manera:

"Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de ese valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores."

En palabras más llanas decimos que: el límite de una función 𝑓(𝑥) en el punto 𝘹₀, es obtener el valor al que se va aproximando dicha función cuando 𝘹 tiende a 𝘹₀, pero sin llegar a ese punto.

La sintaxis matemática del límite es:

donde 𝐿 es el valor del límite.

Propiedades de los límites

Algunas propiedades matemáticas de los límites pueden facilitar en algunos casos los cálculos en funciones más complejas. Considerando dos funciones definidas en un mismo intervalo.

• Unicidad del límite: El límite de una función será único en caso de su existencia.
• Límite de una constante: El límite de una función constante 𝑓(𝑥) = 𝚔 será igual a la constante 𝚔.

• Suma y resta de límites: El límite de la suma será la suma de los límites.

• Producto de límites: El límite del producto de una constante por una función será la constante por el límite de la función.

Ver más propiedades en la versión extendida

Ejemplo

Calcular el límite de 𝑔(𝑥) · 𝑓(𝑥) cuando 𝘹 tiende a 1 para 𝑔(𝑥) = 𝘹 - 1 y 𝑓(𝑥) = 𝘹 + 1

Usando las propiedades antes definidas tenemos:

Límites que tienden al infinito

¿Cómo conocemos el límite de una funcíón cuando sus variables tienden a infinito?

En este caso la manera de resolverlo resulta complicado, debido a que al evaluar una función en infinito el resultado es una función indefinida. A pesar de eso, es posible conocer el valor del límite de la función cuando los valores tienden a infinito.

Ejemplos de límites

Encontrar los siguientes límites:

• 𝑓(𝑥) = 𝘹² cuando 𝘹 tiende a 4.
• 𝘹² + 8𝘹 + 31 cuando 𝘹 tiende a 3.
• 𝘹² - 𝘹 + 2 cuando 𝘹 tiende a 2.

Referencias

Para profundizar en los temas tratados en el presente documento se pueden consultar las siguientes fuentes

• Larson, R., Edwards, B. H., Escutia, J. I., Fernández, Á. H., Cázáres, G. N., & Chávez, N. A. M. (2010). Cálculo 1: De una variable. McGraw-Hill Interamericana.
• Zill, D., & Wright, W. (2011). Matemáticas 1: Cálculo diferencial. McGraw-Hill Interamericana de España S.L.
• Salinas Martínez, N. P., Alanís Rodríguez, J. A., Garza García, J. L., Pulido Ríos, R., Santos Leal, F. X., & Escobedo Mirales, J. C. (2012). Cálculo aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos. Cengage Learning.

Para revisar más conceptos de Límites, checa el siguiente notebook.