Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME

• Autores:
• Ingrid Pamela Ruiz Puga
• Luis M. de la Cruz Salas
• Rev: mar ene 12 16:30:56 CDT 2020

Introducción

Una serie matemática es la expresión de la suma del número infinito de términos de una sucesión.

La suma hasta un término específico cualquiera se llama suma parcial.

Si las sumas parciales de una serie infinita se aproximan cada vez más a un numero k, de modo que tal que si la serie continúa, la suma puede acercarse a k tanto como se desee; a esto se le conoce como el límite de las sumas parciales o el límite de la serie infinita (suma al infinito, forma abreviada para designar a su límite pues realizar la suma infinita es imposible).

Definición de serie

Sea a_n una sucesión de números reales. Para cada n ε N, definimos

como la serie S_n compuesta por la suma de todos los elementos en la sucesión a_n.

Convergencia de series

Diremos que una serie converge cuando una vez sumados el mayor número de elementos posibles el resultado se acerca cada vez más a un número S. Formalmente escribimos:

Una serie S_n es convergente si Ǝ S tal que

Por lo tanto S es el valor suma de la serie S_n y se escribe de la siguiente manera

Algunas series comunes

Serie geométrica

Una Serie geométrica : Es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica, es decir, cada término de la serie es igual al anterior multiplicado por una constante. La fórmula es la siguiente:

Serie telescópica

Una Serie telescópica es aquella tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma a_n = b_n - b_n+1 y se expresa como sigue:

Serie de términos positivos

Una Serie de términos positivos es aquella donde cada a_n ≥ 0 ∀ n por lo que es una serie siempre creciente.

En muchas ocasiones resulta difícil determinar la suma de una serie, por esa razón nos conformamos con saber su carácter, es decir si converge o no.

Serie alternada

Se dice que una serie es alternada cuando sus términos son alternativamente positivos y negativos, por ejemplo S_n es alternada si:

Ejemplos

1. Determinar si la serie es convergente.

Se observa que la serie es alternada, veámoslo gráficamente:

La serie es condicionalmente convergente, se recomienda visualizar la versión extendida para detalles de la justificación.

1. La serie es absolutamente convergente.

Referencias

• Banach, S. (1991). Calculo diferencial e integral (1.ª ed.). Uteha.
• Thompson, S. P., & Gardner, M. (2012). Cálculo diferencial e integral. McGraw-Hill Interamericana, S.A.
• Courant, R., & John, F. (1996). Introducción al cálculo y al análisis matemático. Limusa.
• Spivak, M., & Marqués, B. F. (1988). Cálculo Infinitesimal. Reverté.
• Briseño, L., Palmas, Ó., & Verdugo, J. (2015). Una mirada al cálculo a través de las sucesiones. Prensas de Ciencias.

Para revisar más conceptos de Series, checa el siguiente notebook.