El concepto de norma es uno de los conceptos más importantes cuando se establece la idea de distancia y de cómo se mide en diferentes espacios vectoriales.

Un ejemplo de cómo la definición de norma y por lo tanto de distancia afecta nuestra percepción del mundo es la distancia Manhattan.

Supongamos que en una planicie un pájaro trata de desplazarse del árbol A al árbol B, cómo todos sabemos (incluso los animales) la distancia más corta entre estos árboles es una línea recta, aunque propiamente es una línea curva ya que vivimos en un mundo tridimensional y aunque no nos demos cuenta la forma del mundo es esférico.

Sin embargo si este mismo pájaro tratara de viajar del árbol A al árbol B y estos árboles se ubican en extremos opuestos en la ciudad de Manhattan (rascacielos), este pájaro tendría que desplazarse entre las calles y por lo tanto la distancia más corta entre estos árboles ya no podría ser la misma que en una planicie.

Pero, ¿Para que nos sirve medir distancias en distintos espacios vectoriales?

Una de las aplicaciones que se le da al concepto de norma es en la inteligencia artificial. Recientemente uno de los campos de mayor crecimiento en el terreno de las ciencias es el de las redes neuronales y el aprendizaje de máquina.

Frecuentemente una red neuronal puede ser vista cómo una matriz en la que cada una de sus entradas es una neurona (vector) y cada neurona puede tener a su vez muchas componentes. Una vez más estamos en un espacio vectorial.

Estas redes neuronales tiene un sin fin de aplicaciones, sin embargo una de las aplicaciones que se le da con mayor frecuencia es la de clasificación automatizada. Está clasificación puede ser de imagenes, textos, caracteres o cualquier elemento que pueda ser mapeado a un espacio vectorial.

Una de las redes neuronales más básicas es la conocida cómo SOM (self-organized map), en esta red comenzamos con una matriz con valores aleatorios y conforme se va entrenando esta red, dicha matriz va tomando una determinada “forma”, más o menos cómo un colador de alimentos que después de ser usado muchas veces se va amoldando a los alimentos que filtra.

Para saber en qué momento debemos detener el entrenamiento de la red neuronal se utiliza el concepto de norma, ya que si la red (matriz) en la iteración n+1 del entrenamiento no dista mucho de la red en la iteración n, eso significa que el cambio es mínimo y que ya no tiene sentido seguir entrenando a la red. Y esto indica que la red está lista para poder clasificar de manera automatizada.

De tal manera que ahora podemos mostrar un elemento de este espacio vectorial a esta red neuronal y de nuevo empleando el concepto de norma para calcular la distancia más corta entre este elemento y la neurona a la que más se parezca, la red será capaz de clasificar este elemento.

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