La hipótesis del continuo
La hipótesis del continuo#
Pongamos en términos más precisos las consideraciones anteriores. La pregunta básica que debemos plantearnos es qué tan pequeño podemos elegir un volumen de control para que el medio material que se encuentre en su interior pueda considerarse un medio continuo. Esto plantea la identificación de diversas escalas de longitud. Supongamos que nuestro volumen de control es un cubo de lado \(a\) de modo que su volumen es \(\epsilon = a^3\), como se ilustra en la Fig. 3.
Fig. 3 Hipótesis del continuo. La escala macroscópica, \(L\), define el tamaño del sistema bajo estudio. La escala microscópica, \(\ell\), es la trayectoria libre media entre moléculas. \(\epsilon=a^3\) es el volumen de control considerado.#
Por otra parte, requerimos una longitud macroscópica, \(L\), que caracteriza el tamaño del sistema o región bajo estudio, por ejemplo, un recipiente, una habitación, un lago o una galaxia. Además, requerimos una escala microscópica para lo cual comúnmente se utiliza la \(\textit{trayectoria libre media}\) de la partícula, que se define como la distancia promedio, \(\ell\), que una partícula microscópica (molécula) recorre antes de chocar con otra partícula. Dicha longitud es inversamente proporcional al número de partículas por unidad de volumen, \(n\), es decir, \(\ell \propto 1/n\), de modo que mientras más denso sea el medio, menor será \(\ell\). Para un gas en condiciones normales, la trayectoria libre media es aproximadamente \(\ell \approx 10^{-5}\) cm. De esta forma, la hipótesis del continuo será válida si podemos encontrar un volumen \(\epsilon\), cuya escala de longitud \(a\) satisfaga la desigualdad:
Esta relación implica que el volumen de control más pequeño que podemos considerar para que el enfoque del continuo sea válido debe ser suficientemente grande para albergar a una gran cantidad de moléculas pero suficientemente pequeño comparado con las dimensiones macroscópicas del sistema, de modo tal que puede ser tratado como un punto al cual le aplicamos las reglas del cálculo diferencial. A ese volumen mínimo lo podemos considerar como una partícula de fluido. Nótese que dicha partícula está compuesta por una cantidad enorme de moléculas. La hipótesis del continuo asegura que las propiedades del fluido, tanto térmicas como dinámicas, se pueden entender como la suma de las contribuciones que aporta cada elemento de masa al comportamiento global del medio [2]. De esta forma, si la hipótesis del continuo es válida podemos ignorar sin problema la estructura molecular de la materia y definir variables que varían de manera continua en el espacio.
Por ejemplo, podemos definir la densidad de masa del fluido como la suma de todas las partículas de masa \(\Delta m_i\) dividida por el volumen que ocupan, \(\Delta V\), y luego tomar el límite cuando dicho volumen tiende al volumen \(\epsilon\) que garantiza la validez de la hipótesis del continuo, es decir,
De manera similar podemos definir la velocidad del fluido sumando el producto de la masa de cada partícula por su velocidad, \({\boldsymbol v}_i\), dividido entre la masa total, y tomando el límite \(\Delta V \to \epsilon\), es decir,
De esta forma, las cantidades \(\rho \left( x,y,z,t \right)\) y \({\boldsymbol u} \left( x,y,z, t \right)\) son funciones continuas de la posición y del tiempo y constituyen variables macroscópicas del fluido denominadas variables de campo.
Los requerimientos de la hipótesis del continuo se pueden formular a través de un parámetro adimensional conocido como el número de Knudsen, definido como
En términos de este parámetro, la condición \(\ell \ll L\) se expresa como \(Kn \ll 1\). De manera más específica, para gases la validez de la hipótesis del continuo está garantizada cuando se satisface la condición \(Kn < 0.01\).
Un caso interesante de aplicación de la hipótesis del continuo es el de los fenómenos que tienen lugar en el espacio exterior y que son estudiados por la astrofísica. En muchos casos, tales fenómenos son descritos mediante la mecánica de fluidos, es decir, mediante una descripción de un medio continuo. El espacio exterior no es homogéneo y en particular, su composición, temperatura y densidad varían en diferentes regiones, pero en algunas de ellas, es posible encontrar una trayectoria libre media, \(\ell\), de miles de kilómetros. ¿Cómo es posible que con una ``escala microsópica’’ de esta magnitud podamos hablar de un medio continuo? La clave está en que la escala macroscópica, \(L\), utilizada para hacer la descripción, puede ser de centenas o miles de años luz.