El teorema de Bernoulli
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El teorema de Bernoulli#
Para establecer este teorema consideremos un fluido ideal e incompresible, por lo que está descrito por las siguientes ecuaciones de movimiento:
Ya que la gravedad es conservativa, podemos expresar la como el gradiente de un potencial
donde
Consideremos ahora la siguiente identidad entre los vectores
Si ambos vectores son iguales
donde por simplicidad hemos denotado
Supongamos ahora que el flujo es estacionario, por lo que la ecuación anterior se reduce a
donde hemos definido la función escalar
Si efectuamos el producto punto del vector velocidad
ya que
se le conoce como la ecuación de Bernoulli.
El teorema de Bernoulli también se puede establecer cuando además de estacionario, el flujo es irrotacional, es decir,
lo que indica que H es independiente de la posición y del tiempo. Es decir, en un fluido ideal incompresible en flujo estacionario e irrotacional, la cantidad H es una constante en todo el campo de flujo.
En los dos casos descritos arriba, hemos encontrado que la cantidad
Ya que
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli#
Tubo de Pitot#
Veamos ahora cómo podemos utilizar la ecuación de Bernoulli en la resolución de problemas. Una de las aplicaciones básicas se da en la determinación de la velocidad de flujos utilizando diversos dispositivos. Por ejemplo, consideremos el dispositivo ilustrado en la Fig. 56, conocido como tubo de Pitot simple. Se tiene un fluido de densidad

Fig. 56 El tubo de Pitot puede utilizarse para estimar la velocidad promedio del flujo dentro del tubo.#
línea de corriente entre los puntos 1 y 2, como se muestra en la Fig. 56, podemos establecer la ecuación de Bernoulli en la forma
donde los subíndices indican el punto en donde están asociadas las cantidades. Al aplicar la ecuación de Bernoulli en este problema, debemos considerar que al hablar de presión y velocidad nos referimos a cantidades promedio, no a cantidades locales. Ya que al pasar del punto 1 al 2 nos movemos en la horizontal, tenemos que
lo que muestra que en el punto 2 la presión debe incrementarse para compensar la ausencia de energía cinética. De la ecuación (196), la velocidad en el punto 1 es
Por otra parte, la diferencia entre las presiones en los puntos 1 y 2 se debe exclusivamente a la columna hidrostática que se encuentra por encima del punto 2, es decir,
Ahora consideremos una ligera variación a la situación anterior, incluyendo una apertura conectada con un tubo vertical por encima del punto 1, donde se forma una pequeña columna estática, como se muestra en la Fig. 57.

Fig. 57 Flujo en un ducto con una apertura vertical previa a la localización del tubo de Pitot.#
La ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tiene la misma forma que en el caso anterior:
sin embargo, ahora la diferencia de presiones entre dichos puntos es
Podemos preguntarnos cómo se relacionan las alturas
de donde
Tubo de Venturi#
Consideremos otro dispositivo conocido como tubo de Venturi que también permite estimar el gasto o caudal que fluye por una tubería. El dispositivo consiste en un tubo con una reducción de la sección transversal por donde fluye un fluido de densidad

Fig. 58 Tubo de Venturi. Este dispositivo puede utilizarse para estimar la velocidad promedio en el flujo dentro del tubo.#
Si planteamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 unidos por una línea de corriente horizontal, tenemos
Debido a la reducción en el área transversal del tubo, la velocidad en el punto 2 será mayor que en el 1, mientras que la presión será menor. La mayor presión estática en el punto 1 ocasiona que el fluido estancado en el tubo en U se desplace hacia la izquierda, causando una diferencia de alturas,
donde
y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli
de donde encontramos
La diferencia de presiones corresponde a la presión de la columna de fluido con densidad
de manera que el gasto másico está dado por

Fig. 59 Variación del tubo de Venturi en donde no interviene un fluido distinto al que fluye por el tubo.#
La Fig. 59 ilustra una variación del tubo de Venturi en donde no interviene un segundo fluido. Por encima de los puntos 1 y 2 se localizan tubos verticales dentro de los cuales se estanca el fluido alcanzando un cierta altura. Puesto que en el punto 1 la velocidad es menor que en la sección reducida, la presión estática será mayor que en el punto 2 por lo que la columna de fluido alcanzará una altura mayor. Haciendo un análisis similar al del caso anterior, podemos obtener una expresión para la velocidad media o el gasto en términos de la diferencia de alturas h entre las columnas de fluido.
Vaciado de un recipiente#
Analicemos ahora un problema muy común, a saber, el de un contenedor de agua, por ejemplo un tinaco, en cuya parte inferior se encuentra un orificio por donde el agua es desalojada, como se muestra en la Fig. 60. Para simplificar el problema, supongamos primero que mientras que el agua sale por la parte baja, se suministra agua por la parte alta de manera que el nivel de agua del tinaco se mantiene constante. Nos interesa conocer el gasto de agua que sale por el orificio inferior. Si despreciamos las pérdidas viscosas y tratamos al fluido como ideal, podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1, localizado en la superficie libre del agua, y el punto 2, a la salida del orificio inferior, es decir,
Notemos que ambos puntos se localizan en contacto con la atmósfera de manera que
Si el área del orificio de salida es
Supongamos ahora que el suministro de agua en la parte superior se suprime de manera que el nivel del agua disminuye con el tiempo.

Fig. 60 Tinaco de agua con un orificio de salida en el punto 2. El nivel del agua del tinaco se mantiene constante suministrando el líquido por la parte superior.#
En este caso la velocidad en el punto 1 no es cero, sin embargo, el gasto volumétrico se conserva de modo que
de donde
por lo que, la velocidad media en el punto 2 es:
Si el radio del orificio de salida es mucho más pequeño que el radio del tinaco, es decir,
Para un tinaco de 60 cm de radio y un orificio de salida con un radio de 2.5 cm, el error porcentual es del orden de
Si queremos determinar el tiempo en el que se vaciará el tinaco, debemos determinar la variación de la altura con el tiempo, es decir,
donde el signo menos indica que el fluido sale del volumen de control. Por otro lado, la masa de agua contenida en el tinaco por encima del nivel del orifico a un instante dado es
por lo que la variación temporal de la masa dentro del tinaco será
Obviamente, la variación de la masa en el tinaco debe ser igual a la masa desalojada por el orificio, de modo que igualando las ecuaciones (215) y (217), tenemos
o bien
Separando esta ecuación e integrando
obtenemos
donde
Con este resultado podemos obtener la velocidad de salida como función del tiempo, es decir,
Finalmente, podemos calcular el tiempo,
Es importante remarcar que estos resultados se obtuvieron bajo la suposición de que el fluido es ideal de modo que las pérdidas viscosas son inexistentes. En una situación real, la velocidad de salida es menor que la que predice el cálculo previo. La principal pérdida se presenta en el orificio de salida y es totalmente dependiente de su geometría. Es decir, la velocidad de salida dependerá del tipo de boquilla por donde se desaloja el líquido. Para aproximar de mejor manera dicha velocidad, en la práctia se usa un coeficiente de descarga,
Este coeficiente que evidentemente deber ser menor que 1, toma en cuenta la disminución de la velocidad de descarga debido a las pérdidas viscosas, así como el hecho de que a la salida existe una reducción en la sección efectiva transversal del flujo.
Otra suposición básica utilizada previamente es que la velocidad de salida es igual a

Fig. 61 Tinaco de agua con un orificio de salida a una altura
Utilicemos los resultados anteriores para analizar una extensión al problema tratado. Consideremos la situación mostrada en la Fig. 61, donde el orificio en el tinaco se localiza a una cierta altura
donde
El tiempo,
por lo que el alcance del chorro es
Pero la velocidad
de manera que utilizando la ecuación (223), el alcance puede expresarse como
El alcance máximo se obiente en
Derivación alternativa de la ecuación de Bernoulli#
Veamos ahora una manera alternativa de derivar la ecuación de Bernoulli analizando el movimiento de una partícula cúbica de fluido que se desplaza de izquierda a derecha sujeta a un gradiente de presión a lo largo de una línea de corriente, como se muestra en la Fig. 62. La partícula de masa

Fig. 62 Partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente#
donde
donde
donde
ya que
o bien
pero
Podemos ahora integrar entre dos puntos 1 y 2 que se encuentren a lo largo de la línea de corriente para relacionar la diferencia de presiones con la diferencia de velocidades entre los puntos, es decir
de donde obtenemos
o bien
Ya que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la ecuación (244) puede utilizarse para conectar cualesquiera dos posiciones a lo largo de una línea de corriente. Evidentemente se trata de la ecuación en donde se ha omitido el término de energía potencial por simplicidad.
Gradiente de presión a través de líneas de corriente curvas#
Ahora analicemos la forma en que varía el gradiente de presión cuando nos movemos transversalmente a líneas de corriente [9]. Consideremos una partícula de fluido que se desplaza sobre una línea de corriente curva, como la mostrada en la Fig. 63. La fuerza centrípeta que se ejerce sobre una

Fig. 63 Variación de la presión en dirección transversal a una línea de corriente curva.#
partícula de masa
donde
y en la cara superior es
podemos aproximar la diferencial de la presión en la forma
donde
de donde
Esta ecuación nos dice que sobre una partícula de fluido que sigue una trayectroria curva, existe una fuerza centrípeta que actúa normal a la dirección de movimiento. En particular, expresa que el gradiente de presión a través de las líneas de corriente depende del radio de curvatura local
por lo que no existe gradiente de presión en la dirección transversal a líneas de corriente sin curvatura. Por el contrario, si una línea de corriente es curva debe existir un gradiente de presión a través de la línea de corriente, incrementándose la presión en la dirección que se aleja del centro de curvatura.
Variación de la presión en un vórtice atmosférico#
Esto nos permite entender que en un tornado o un vórtice atmosférico cuyas líneas de corriente son aproximadamente círculos concéntricos, existe un gradiente de presión a través de ellas de tal modo que la presión disminuye conforme nos acercamos al núcleo del vórtice. Esto explica por qué los tornados succionan a los objetos que encuentran a su paso. Si aplicamos la ecuación de Bernoulli a estas líneas de corriente, encontramos que la velocidad se incrementa conforme nos acercamos al núcleo, es decir, el fluido en las líneas de corriente más externas tendrá una mayor presión y menor velocidad que aquel que se encuentre en líneas de corriente más cercanas al núcleo. En los huracanes la velocidad del viento alcanza un máximo en la frontera que divide al núcleo, también llamado ojo del huracán, con el exterior del vórtice [9]. El ojo del huracán es una zona de baja presión y baja velocidad donde los efectos de fricción son importantes.

Fig. 64 Líneas de corriente alrededor de un ala curveada [10].#
Empuje sobre un ala#
Siguiendo el razonamiento expuesto por H. Babinsky [9], la ecuación (250) también permite entender cómo es que se produce el empuje en un ala de avión con una cierta curvatura. La Fig. 64 muestra las líneas de corriente que se forman alrededor de una ala debido a un flujo de aire que viaja de izquierda a derecha. Las líneas verticales punteadas indican puntos en distintas líneas de corriente lejanos y cercanos al ala. El punto