El número de Reynolds

En el análisis de la transferencia de masa, momento y calor es muy útil establecer parámetros adimensionales que nos permitan estimar de manera gruesa la importancia de la convección o la difusión en un problema dado. Sabemos que podemos interpretar a la ecuación de Navier-Stokes (65) como una ecuación de transporte, donde la cantidad transportada es precisamente la cantidad de movimiento o momento del fluido. El momento puede transportarse convectivamente mediante el desplazamiento del fluido de un lugar a otro y matemáticamente el término \(\rho ({\boldsymbol u} \cdot {\boldsymbol \nabla}) {\boldsymbol u}\) de la ecuación (65) es el que caracteriza este transporte. Por su parte, el momento también puede transportarse difusivamente a través de los esfuerzos viscosos en el fluido, caracterizados por el término \(\mu {\boldsymbol \nabla}^2 {\boldsymbol u}\). Una manera de determinar la importancia relativa de estos mecanismos de transporte es estimando el cociente de la magnitud de los términos mencionados, para lo que es necesario establecer escalas características de las cantidades físicas (velocidad) y geométricas (longitud) involucradas. Por ejemplo, consideremos el flujo dentro de un tubo de diámetro uniforme. La velocidad del flujo en el tubo podemos estimarla a través de la velocidad promedio en la sección transversal del tubo, digamos \(U\), de modo que \(\mid {\boldsymbol u} \mid \approx U\). Debemos también estimar el operador nabla, \({\boldsymbol \nabla}\), que involucra derivadas de la forma \(\partial /\partial x\), por lo que tiene unidades de m\(^{−1}\). Este operador puede estimarse a través de una longitud característica \(L\) en la forma \(\mid {\boldsymbol \nabla} \mid \approx 1/L\), donde \(L\) es una longitud a lo largo de la cual la velocidad sufre cambios apreciables. En el caso del flujo en un tubo, \(L\) podría tomarse como el radio del tubo puesto que la velocidad varía desde cero en la pared del tubo hasta su valor máximo en el centro. Tomando estas escalas podemos entonces efectuar la siguiente estimación:

\[\frac{{\rm Transporte\;convectivo\; de \;momentum}}{{\rm Transporte\; difusivo \;de\; momentum}} = \frac{\mid \rho ({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol \nabla}){\boldsymbol u} \mid}{\mid \mu {\boldsymbol \nabla}^2 {\boldsymbol u} \mid } \approx \frac{\rho U^2/L}{\mu U/L^2} \]

El resultado de este cociente es un parámetro adimensional conocido como el número de Reynolds, dado por

\[Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{UL}{\nu},\]

donde el coeficiente \(\nu= \mu/\rho\) se conoce como la viscosidad cinemática o difusividad viscosa del fluido y tiene unidades de m\(^2\)/s. Más adelante daremos una interpretación física al coeficiente \(\nu\). En un flujo donde \(Re\) es mucho menor que la unidad, el transporte difusivo de momento es más importante que el transporte convectivo. A su vez, cuando \(Re \gg 1\), el transporte convectivo domina sobre el difusivo en toda la región de flujo, excepto cerca de paredes sólidas donde se forma una pequeña capa, la capa límite hidrodinámica. Otra interpretación común del número de Reynolds se da a partir de considerar las fuerzas que intervienen en el flujo. Entonces podemos entender a \(Re\) como un parámetro adimensional que da una estimación del cociente de las fuerzas inerciales (o simplemente la inercia) y las fuerzas viscosas, de manera que en un flujo donde \(Re \gg 1\) las fuerzas inerciales dominan sobre las viscosas, mientras que cuando \(Re \ll 1\), sucede lo opuesto.

El valor del número de Reynolds es de fundamental importancia para determinar si un flujo es laminar o turbulento. Entendemos por flujo laminar un movimiento ordenado del fluido que podemos visualizar como hojas o láminas de fluido desplazándose suavemente una encima de otra con distintas (o iguales) velocidades longitudinales. Mientras que un flujo turbulento es un flujo desordenado que involucra desplazamientos azarosos de porciones de fluido de un lugar a otro.