La ecuación hidrostática#

Ahora veamos cuál es la ecuación que gobierna a un fluido en reposo. Para un fluido real e incompresible, es decir, un fluido con viscosidad distinta de cero y densidad constante, las ecuaciones de trasporte se reducen a la ecuación de continuidad (64) y a la ecuación de Navier-Stokes (65). Si suponemos que el fluido se encuentra en reposo, \(u=0\), las ecuaciones mencionadas se reducen a

(70)#\[0=-\nabla p+\rho g\]

Hay que mencionar que esta misma ecuación se obtiene aún si el fluido es compresible. La ecuación (70) define un estado particular del fluido conocido como hidrostático. Si tomamos el eje \(z\) apuntando en la dirección vertical hacia arriba, la aceleración de la gravedad es \(g=\left(0,0,-g\right)\). Ya que la fuerza gravitacional es conservativa, podemos expresar \(g\) como el gradiente de un potencial

(71)#\[g=-\nabla\varphi\]

o bien, escribiendo en componentes la ecuación anterior

(72)#\[0=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\]
(73)#\[0=\frac{\partial\varphi}{\partial y}\]
(74)#\[g=\frac{\partial\varphi}{\partial z}\]

de donde al integrar encontramos

(75)#\[\varphi=gz+C\]

donde \(C\) es una constante. Así, la ecuación (70) podemos expresarla como

(76)#\[\nabla p=-\rho\nabla\varphi\]

En general, la ecuación (76) no tiene solución cuando la densidad no es constante. Si la densidad varía en el espacio de manera arbitraria, no hay manera de que las fuerzas se equilibren y el fluido permanezca estático. En tal caso, aparecerían corriente de convección, como sucede en el oceáno donde la denisdad varía de acuerdo a la profundidad. Matemáticamente esto se debe a que el término de presión en la ecuación (76) es un gradiente puro mientras que el término del lado derecho no lo es. Únicamente cuando \(\rho\) es constante, el término que involucra al potencial \(\varphi\) es un gradiente puro, es decir,

(77)#\[\nabla p=-\nabla\left(\rho\varphi\right)\]

entonces

(78)#\[\nabla\left(p+\rho\varphi\right)=0\]

de donde \(p+\rho\phi\), o bien utilizando (75) tenemos

(79)#\[p\left(z\right)=-\rho gz+C\]

que es la ecuación principal de la hidrostática. Una manera alternativa de obtenerla es partiendo de la ecuación (66)

(80)#\[\nabla p=-\rho gK\]

que en componentes se expresa como

(81)#\[\frac{\partial p}{\partial x}=0\]
(82)#\[\frac{\partial p}{\partial y}=0\]
(83)#\[\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g\]

Al integrar suponiendo ρ constante obtenemos \(p\left(z\right)=-\rho gz+C\). Veamos cómo podemos utilizar esta ecuación.

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Fig. 38 Cuerpo de agua en reposo con una superficie libre en contacto con el aire.#

Consideremos un cuerpo de agua en reposo, por ejemplo un estanque como el mostrado en la figura Fig. 48. La profundidad del agua es \(h\) mientras que la presión en la superficie libre del agua es justamente la presión atmosférica. Dicha presión es la que ejerce la columna de aire que está por encima de la superficie. Si colocamos el sistema de coordenadas en la superficie del agua en reposo, tenemos que en \(z=0\) la presión coincide con la presión atmosférica, por lo que podemos determinar el valor de la constante \(C\) de la ecuación (85)

(84)#\[p\left(0\right)=p_{atm}=C\]

de modo que

(85)#\[p\left(z\right)=-\rho gz+p_{atm}\]

Si queremos encontrar la presión en el fondo del estanque debemos evaluar en \(z=−h\), esto es

(86)#\[p\left(-h\right)=\rho gh+p_{atm}\]

es decir, la presión en cualquier punto del fondo se debe a la columna de agua más la columna de aire de la atrmósfera por encima del punto. En hidrostática la presión en una superficie dada depende únicamente de la columna de fluido por encima de dicha superficie, no del fluido que está a los lados. Sin embargo, como ya demostramos, en un punto dado la presión actúa en todas direcciones, no solo en la dirección vertical. Si consideramos un cuerpo de agua como el mostrado en la figura Fig. 39, la presión del agua sobre la pared vertical aumenta linealmente con la profundidad alcanzando la presión máxima en el fondo.

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Fig. 39 La presión que ejerce el agua sobre la pared vertical crece linealmente con la profundidad.#

Si en el lado derecho de la pared vertical solo hay aire, como ocurriría en la cortina de una presa, al igual que por encima de la superficie libre del agua la presión coincidirá con la presión atmosférica. Podemos considerar que esta presión se mantiene constante a distintas alturas siempre y cuando las variaciones no sean demasiado grandes. La presión que ejerce el agua sobre cada punto de la pared vertical está dada por la ecuación (85). Si suponemos que el ancho de la pared vertical es \(L\) (en dirección perpendicular al plano de la figura), podemos calcular la fuerza total que el agua ejerce sobre dicha pared mediante la integral

(87)#\[F_{x}=\intop_{-h}^{0}\left(p\left(z\right)-p_{atm}\right)Ldz=-\int_{-h}^{0}\rho gzLdz=\frac{1}{2}\rho gLh^{2}\]

donde hemos considerado la diferencia \(\left(p\left(z\right)-p_{atm}\right)\) ya que solo nos interesa la fuerza que ejerce la columna de agua sobre la pared. Vemos entonces que la fuerza total sobre la pared es el producto del área de la pared, \(Lh\), por la presión promedio sobre la misma, es decir

(88)#\[\left\langle p\left(z\right)-p_{atm}\right\rangle =\frac{1}{2}\rho gh\]

donde los corchetes \(\left\langle \right\rangle \) indican promedio en la dirección vertical.